À partir de quel seuil la borne apprend-elle quelque chose

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · L'inégalité de Markov

Énoncé

Une variable positive $X$ a pour espérance $5$ . Donner la majoration de Markov de $P ([X \geq a])$ pour $a = 4$ , $a = 5$ , $a = 10$ et $a = 20$ , puis dire à partir de quelle valeur de $a$ la majoration apporte une information.

Corrigé

La majoration. $X$ étant positive et d'espérance $5$ , on a pour tout $a > 0$ : $P ([X \geq a]) \leq \frac{5}{a} .$

Les quatre valeurs.

$a$	$4$	$5$	$10$	$20$
majoration $5/ a$	$1, 25$	$1$	$0, 5$	$0, 25$

Lecture. Pour $a = 4$ la borne vaut $1, 25$ et pour $a = 5$ elle vaut $1$ : dans les deux cas elle est vraie, mais elle ne dit rien de plus que « une probabilité ne dépasse pas $1$ ». Ce n'est qu'à partir de $a > 5$ qu'elle devient informative, et elle s'améliore ensuite en $1/ a$ .

La règle générale. La majoration de Markov apporte une information dès que $a > E (X)$ . Cela se comprend : si le seuil est en dessous de la moyenne, il n'y a aucune raison que l'événement $[X \geq a]$ soit rare — il peut même être certain, comme pour une variable constante égale à $5$ avec $a = 4$ .

Le point délicat. Une borne inutile n'est pas une borne fausse. Elle indique simplement que l'espérance seule ne suffit pas à conclure à ce seuil-là.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.