mathématiques (ECT 2e année) · Chapitre 10 · Exercice

Bienaymé-Tchebychev sur un chiffre d'affaires

Convergences et approximations · L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev · niveau 1 (application)

Énoncé

Le chiffre d'affaires journalier $X$ d'un magasin, en euros, a pour espérance $m = 8000$ et pour écart-type $σ = 1500$ .

Ici $V (X) = 150 0^{2} = 2250000$ .

1. Avec $ε = 3000 = 2 σ$ , la majoration vaut $\frac{2 250 000}{3 00 0 ^{2}} = \frac{2 250 000}{9 000 000} = 0, 25$ .

2. Avec $ε = 4500 = 3 σ$ : $\frac{2 250 000}{20 250 000} = \frac{1}{9} ≃ 0, 111$ .

3. L'événement $[5000 < X < 11000]$ contient le contraire de $[∣ X - 8 000∣ \geq 3000]$ , donc sa probabilité est supérieure à $1 - 0, 25 = 0, 75$ .

Le raccourci utile. En posant $ε = k σ$ , la majoration devient $1/ k^{2}$ : ici $k = 2$ puis $k = 3$ , d'où $0, 25$ et $1/9$ de tête.