Ce que coûte un gain de précision

La formule de départ. Les observations étant mutuellement indépendantes et de même loi, d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma$ : $$E({\overline{X}}_n)=m,V({\overline{X}}_n)=\frac{{\sigma }^2}{n},\sigma ({\overline{X}}_n)=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$$

Le raisonnement général. Passer de $n$ à $n^{\prime }=9n$ change l'écart-type de la moyenne en $$\frac{\sigma }{\sqrt{9n}}=\frac{\sigma }{3\sqrt{n}}=\frac{1}{3}\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}},$$ soit exactement le tiers du précédent. Réciproquement, si l'on veut $\frac{\sigma }{\sqrt{n^{\prime }}}=\frac{1}{3}\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$, alors $\sqrt{n^{\prime }}=3\sqrt{n}$, donc $n^{\prime }=9n$ : il n'y a pas d'autre choix.

L'application. On veut passer de $0,06$ à $0,02$, c'est-à-dire diviser par $3$. Donc $$n^{\prime }=9\times 200=1800\text{observations}.$$

Contrôle. De $\frac{\sigma }{\sqrt{200}}=0,06$ on tire $\sigma =0,06\sqrt{200}\approx 0,849$, puis $\frac{0,849}{\sqrt{1800}}\approx \frac{0,849}{42,43}\approx 0,020$. Le compte est bon.

Lecture de gestion. C'est le $\sqrt{n}$ qui rend les enquêtes coûteuses : gagner un facteur $3$ sur la précision demande neuf fois plus d'observations, donc environ neuf fois plus de temps et d'argent. Aucune astuce de calcul ne contourne cette racine — seule une réduction de $\sigma$, c'est-à-dire une mesure plus fine, y parviendrait.