Cinq caisses indépendantes

Convergences et approximations · Sommes et moyennes empiriques · niveau 1 (application)

Énoncé

Cinq caisses d'un supermarché encaissent, sur une heure, des montants $X_{1}, \dots, X_{5}$ mutuellement indépendants, de même espérance $250$ euros et de même écart-type $40$ euros. On pose $S = X_{1} + \dots + X_{5}$ .

Calculer $E (S)$ et $V (S)$ , puis $σ (S)$ .
Comparer $σ (S)$ à $5 \times 40 = 200$ .

Corrigé

1. L'espérance est additive sans hypothèse : $E (S) = 5 \times 250 = 1250$ euros.

L'indépendance mutuelle permet d'ajouter les variances : $V (S) = 5 \times 4 0^{2} = 5 \times 1600 = 8000$ , donc $σ (S) = 8000 = 405 ≃ 89, 44$ euros.

2. $89, 44$ est bien plus petit que $200$ : les écarts-types ne s'additionnent pas. Ce sont les variances qui s'ajoutent, donc l'écart-type d'une somme de $n$ variables de même écart-type $σ$ vaut $σ n$ .

Interprétation. Les cinq caisses se compensent, et la somme est proportionnellement plus régulière que chacun de ses termes.

Énoncé

Corrigé

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