Cinq caisses indépendantes

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · Sommes et moyennes empiriques

Énoncé

Cinq caisses d'un supermarché encaissent, sur une heure, des montants $X_{1}, \dots, X_{5}$ mutuellement indépendants, de même espérance $250$ euros et de même écart-type $40$ euros. On pose $S = X_{1} + \dots + X_{5}$ .

Calculer $E (S)$ et $V (S)$ , puis $σ (S)$ .
Comparer $σ (S)$ à $5 \times 40 = 200$ .

Corrigé

1. L'espérance est additive sans hypothèse : $E (S) = 5 \times 250 = 1250$ euros.

L'indépendance mutuelle permet d'ajouter les variances : $V (S) = 5 \times 4 0^{2} = 5 \times 1600 = 8000$ , donc $σ (S) = 8000 = 405 ≃ 89, 44$ euros.

2. $89, 44$ est bien plus petit que $200$ : les écarts-types ne s'additionnent pas. Ce sont les variances qui s'ajoutent, donc l'écart-type d'une somme de $n$ variables de même écart-type $σ$ vaut $σ n$ .

Interprétation. Les cinq caisses se compensent, et la somme est proportionnellement plus régulière que chacun de ses termes.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.