Combien d'observations pour un écart-type donné

Les formules. Pour des observations mutuellement indépendantes, de même loi et d'écart-type $\sigma =5$ : $$V({\overline{X}}_n)=\frac{{\sigma }^2}{n}=\frac{25}{n},\sigma ({\overline{X}}_n)=\frac{5}{\sqrt{n}}.$$

Avec cent observations. $$V({\overline{X}}_{100})=\frac{25}{100}=0,25,\sigma ({\overline{X}}_{100})=\frac{5}{10}=0,5.$$

La taille cherchée. On veut $\frac{5}{\sqrt{n}}=0,25$, c'est-à-dire $$\sqrt{n}=\frac{5}{0,25}=20⟹n=400.$$

Lecture. Passer de $100$ à $400$ observations, c'est multiplier $n$ par $4$ : l'écart-type de la moyenne est alors divisé par $\sqrt{4}=2$, et passe bien de $0,5$ à $0,25$. Quadrupler l'échantillon ne divise l'incertitude que par deux — c'est ce qui rend les enquêtes coûteuses.