Combien d'observations pour une variance donnée

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · Sommes et moyennes empiriques

Énoncé

On observe des journées indépendantes d'une même boutique, de variance $V (X) = 2, 0675$ retours. On note $X_{n}$ la moyenne empirique sur $n$ journées.

Exprimer $V (X_{n})$ .
Combien de journées faut-il pour que $V (X_{n}) \leq 0, 01$ ?
Et pour que l'écart-type de $X_{n}$ soit divisé par $10$ par rapport à celui d'une seule journée ?

Corrigé

1. Les journées étant indépendantes et de même loi, $V (X_{n}) = \frac{2 , 0675}{n}$ .

2. Il faut $\frac{2 , 0675}{n} \leq 0, 01$ , soit $n \geq 206, 75$ : il faut $207$ journées.

3. L'écart-type de $X_{n}$ vaut $σ / n$ . Le diviser par $10$ demande $n = 10$ , donc $n = 100$ journées.

Le prix du $n$ . Diviser l'incertitude par $10$ coûte $100$ observations ; la diviser par $100$ en coûterait $10000$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.