Combien de lancers pour approcher la moyenne d'un dé

Un lancer. Les six valeurs sont équiprobables, donc

$$E(X_1)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3,5,E\left(X_1^2\right)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}.$$

Par Kœnig-Huygens,

$$V(X_1)=\frac{91}{6}-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}\approx 2,917.$$

La moyenne empirique. Les lancers sont indépendants et de même loi, donc $E({\overline{X}}_n)=3,5$ et $V({\overline{X}}_n)=\frac{35}{12n}$.

La majoration. Bienaymé-Tchebychev avec $\epsilon =0,1$ :

$$P([|{\overline{X}}_n-3,5|\ge 0,1])\le \frac{35/(12n)}{0,01}=\frac{35}{0,12n}\approx \frac{291,7}{n}.$$

La taille nécessaire. On veut $\frac{291,7}{n}\le 0,05$, soit $n\ge 5833,3$ : il faut $5834$ lancers.

Contrôle. La borne ne descend sous $1$ qu'à partir de $n=292$ : avant cela, elle est correcte et vide.

Ce que cela dit, et ne dit pas. La borne tend vers $0$ : c'est la loi faible des grands nombres. Elle n'affirme pas que ${\overline{X}}_n$ finira par valoir $3,5$, ni qu'une fois entrée dans la bande la moyenne y restera. À chaque rang, la probabilité de s'écarter de plus d'un dixième reste strictement positive — elle devient seulement infime.