Combien de lancers pour approcher la moyenne d'un dé

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · La loi faible des grands nombres

Énoncé

On lance un dé équilibré $n$ fois de façon indépendante et l'on note $X_{n}$ la moyenne des résultats obtenus. Calculer l'espérance et la variance d'un lancer, majorer $P ([∣ X_{n} - 3, 5∣ \geq 0, 1])$ en fonction de $n$ , puis dire combien de lancers garantissent que cette probabilité est au plus $0, 05$ .

Corrigé

Un lancer. Les six valeurs sont équiprobables, donc

$E (X_{1}) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3, 5, E (X_{1}^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} .$

Par Kœnig-Huygens,

$V (X_{1}) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^{2} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2, 917.$

La moyenne empirique. Les lancers sont indépendants et de même loi, donc $E (X_{n}) = 3, 5$ et $V (X_{n}) = \frac{35}{12 n}$ .

La majoration. Bienaymé-Tchebychev avec $ε = 0, 1$ :

$P ([∣ X_{n} - 3, 5∣ \geq 0, 1]) \leq \frac{35/ ( 12 n )}{0 , 01} = \frac{35}{0 , 12 n} \approx \frac{291 , 7}{n} .$

La taille nécessaire. On veut $\frac{291 , 7}{n} \leq 0, 05$ , soit $n \geq 5833, 3$ : il faut $5834$ lancers.

Contrôle. La borne ne descend sous $1$ qu'à partir de $n = 292$ : avant cela, elle est correcte et vide.

Ce que cela dit, et ne dit pas. La borne tend vers $0$ : c'est la loi faible des grands nombres. Elle n'affirme pas que $X_{n}$ finira par valoir $3, 5$ , ni qu'une fois entrée dans la bande la moyenne y restera. À chaque rang, la probabilité de s'écarter de plus d'un dixième reste strictement positive — elle devient seulement infime.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.