Combien de mesures pour une garantie

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · La loi faible des grands nombres

Énoncé

Une mesure de contrôle, répétée de façon indépendante, a pour variance $4$ . On veut que $P ([∣ X_{n} - m ∣ \geq 0, 2])$ soit majorée par $0, 01$ , où $m$ est l'espérance d'une mesure. Combien de mesures faut-il ?

Corrigé

La majoration disponible. Les mesures étant mutuellement indépendantes et de même loi, $V (X_{n}) = \frac{4}{n}$ , et Bienaymé-Tchebychev donne $P ([∣ X_{n} - m ∣ \geq 0, 2]) \leq \frac{4/ n}{0 , 2 ^{2}} = \frac{4}{0 , 04 n} = \frac{100}{n} .$

La condition suffisante. Il suffit que ce majorant soit inférieur à $0, 01$ : $\frac{100}{n} \leq 0, 01 ⟺ n \geq \frac{100}{0 , 01} = 10 000.$ Dix mille mesures suffisent.

Pourquoi « il suffit ». L'inégalité majore : si le majorant passe sous $0, 01$ , la vraie probabilité aussi. Rien ne dit qu'un $n$ plus petit ne conviendrait pas — simplement, on ne pourrait pas le garantir sans connaître la loi des mesures.

Lecture. Diviser la tolérance $ε$ par deux multiplierait $n$ par quatre, à garantie égale : c'est le carré au dénominateur qui commande.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.