Combien de simulations pour deux décimales

Ce dont on dispose. Les observations sont mutuellement indépendantes et de même loi, d'espérance $m$ et de variance ${\sigma }^2=4$. Donc $$E({\overline{X}}_n)=m,V({\overline{X}}_n)=\frac{4}{n}.$$

L'inégalité à écrire. Bienaymé-Tchebychev appliquée à ${\overline{X}}_n$, avec $\epsilon =0,01$, donne $$P([|{\overline{X}}_n-m|\ge 0,01])\le \frac{V({\overline{X}}_n)}{0,01^2}=\frac{4}{n\times 10^{-4}}=\frac{4\times 10^4}{n}.$$

La condition suffisante. Il suffit que ce majorant soit inférieur à $0,05$ : $$\frac{4\times 10^4}{n}\le 0,05⟺n\ge \frac{4\times 10^4}{0,05}=8\times 10^5.$$ Il faut donc $n=800000$ simulations.

Pourquoi « il suffit » et non « il faut ». L'inégalité majore : si le majorant est sous $0,05$, la probabilité l'est aussi. L'inverse n'est pas vrai — avec une loi précise, un $n$ bien plus petit conviendrait souvent. On obtient donc une taille suffisante, garantie sans rien savoir de la loi.

Lecture. Deux décimales coûtent presque un million de simulations, alors qu'une seule décimale ($\epsilon =0,1$) n'en coûterait que $8000$ : cent fois moins. Le carré au dénominateur est impitoyable — diviser la tolérance par dix multiplie le travail par cent.