Contrôle de production

Convergences et approximations · Sommes et moyennes empiriques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une chaîne produit des pièces indépendamment, chacune défectueuse avec probabilité $0, 05$ . On prélève $n = 400$ pièces et l'on note $S$ le nombre de pièces défectueuses, puis $F = S /400$ la fréquence observée.

Donner la loi de $S$ , puis $E (S)$ et $V (S)$ .
Majorer $P ([∣ S - 20∣ \geq 10])$ .
Exprimer $E (F)$ et $V (F)$ , puis majorer $P ([∣ F - 0, 05∣ \geq 0, 025])$ . Comparer avec la question 2.

Corrigé

1. $S$ suit $B (400; 0, 05)$ , donc $E (S) = 20$ et $V (S) = 400 \times 0, 05 \times 0, 95 = 19$ .

2. $P ([∣ S - 20∣ \geq 10]) \leq \frac{19}{100} = 0, 19$ .

3. $F = S /400$ , donc $E (F) = 0, 05$ et $V (F) = \frac{19}{40 0 ^{2}} = \frac{19}{160 000} = 0, 00011875$ . Alors $P ([∣ F - 0, 05∣ \geq 0, 025]) \leq \frac{0 , 00011875}{0 , 000625} = 0, 19$ .

C'est la même majoration, et ce n'était pas un hasard : les deux événements sont identiques, puisque $∣ F - 0, 05∣ \geq 0, 025$ équivaut à $∣ S - 20∣ \geq 10$ après multiplication par $400$ . Diviser par $n$ divise l'écart-type par $n$ et la tolérance aussi : le rapport ne bouge pas.

Énoncé

Corrigé

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