Démontrer Bienaymé-Tchebychev à partir de Markov

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé

Soit $X$ admettant un moment d'ordre $2$ , d'espérance $m$ . On pose $Y = (X - m)^{2}$ .

Justifier que $Y$ est positive et calculer $E (Y)$ .
Montrer que, pour $ε > 0$ , les événements $[∣ X - m ∣ \geq ε]$ et $[Y \geq ε^{2}]$ sont égaux.
Conclure.

Corrigé

1. $Y$ est un carré, donc $Y \geq 0$ . Et par définition de la variance, $E (Y) = E ((X - m)^{2}) = V (X)$ .

2. Soit $ε > 0$ . La fonction $t \mapsto t^{2}$ est croissante sur $[0, + \infty [$ , donc pour un réel $u \geq 0$ on a $u \geq ε ⟺ u^{2} \geq ε^{2}$ . En appliquant cela à $u = ∣ X - m ∣ \geq 0$ , on obtient $∣ X - m ∣ \geq ε ⟺ (X - m)^{2} \geq ε^{2}$ , c'est-à-dire $Y \geq ε^{2}$ . Les deux événements sont donc les mêmes.

3. $Y$ est positive et admet une espérance : Markov s'applique avec le seuil $a = ε^{2} > 0$ , et $P ([∣ X - m ∣ \geq ε]) = P ([Y \geq ε^{2}]) \leq \frac{E ( Y )}{ε ^{2}} = \frac{V ( X )}{ε ^{2}}$ .

À retenir. Bienaymé-Tchebychev n'est pas un résultat nouveau : c'est Markov, appliqué au carré de l'écart à la moyenne. Le programme signale d'ailleurs les deux comme non exigibles.

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