Deux caisses qui ne sont pas indépendantes

Convergences et approximations · Sommes et moyennes empiriques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Deux caisses voisines encaissent en une heure des montants $X$ et $Y$ , chacun d'espérance $250$ euros et d'écart-type $40$ euros, avec $Cov (X, Y) = 600$ . On pose $S = X + Y$ . Calculer $E (S)$ , $V (S)$ et $σ (S)$ , les comparer à ce qu'on obtiendrait si $X$ et $Y$ étaient indépendantes, puis majorer $P ([∣ S - 500∣ \geq 150])$ .

Corrigé

L'espérance. Elle est additive sans aucune hypothèse : $E (S) = 250 + 250 = 500$ euros.

La variance. Elle ne l'est pas, et le terme de covariance apparaît :

$V (S) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y) = 1600 + 1600 + 2 \times 600 = 4400,$

donc $σ (S) = 4400 \approx 66, 33$ euros.

Le cas indépendant. La covariance serait nulle, et l'on aurait $V (S) = 3200$ , donc $σ (S) = 3200 \approx 56, 57$ euros. La dispersion réelle est donc supérieure d'environ $17 %$ à celle qu'on annoncerait en oubliant la covariance.

Interprétation. La covariance est positive : les deux caisses font une bonne heure ensemble, ou une mauvaise ensemble. Leurs écarts s'ajoutent au lieu de se compenser.

La majoration. Bienaymé-Tchebychev avec $ε = 150$ :

$P ([∣ S - 500∣ \geq 150]) \leq \frac{4 400}{15 0 ^{2}} = \frac{4 400}{22 500} \approx 0, 196.$

Sous indépendance, on aurait trouvé $\frac{3 200}{22 500} \approx 0, 142$ .

Le point à retenir. Écrire $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ sans vérifier l'indépendance sous-estime le risque — ici de près d'un tiers sur la majoration finale.

Énoncé

Corrigé

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