Deux suites, une seule qui converge

Les deux premiers moments de $Y$. $E(Y)=\frac{1}{2}$ et $E(Y^2)=\frac{1}{2}$, donc $V(Y)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$. Dans les deux cas, chaque $X_n$ a pour espérance $\frac{1}{2}$ et pour variance $\frac{1}{4}$.

Cas (a) : les hypothèses du théorème sont réunies. Les variables sont mutuellement indépendantes et de même loi, donc $$V({\overline{X}}_n)=\frac{1/4}{n}=\frac{1}{4n},$$ et Bienaymé-Tchebychev donne $$P\left(\left[\left|{\overline{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\ge 0,1\right]\right)\le \frac{1/(4n)}{0,01}=\frac{25}{n}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$ La probabilité tend donc vers $0$ : c'est la loi faible des grands nombres.

Cas (b) : la moyenne ne bouge pas. Ici $X_1=X_2=\cdots =Y$, donc $${\overline{X}}_n=\frac{nY}{n}=Y\text{pour tout }n.$$ La variance ne décroît pas : $V({\overline{X}}_n)=V(Y)=\frac{1}{4}$, constante. Et comme $Y$ vaut $0$ ou $1$, on a toujours $\left|Y-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}\ge 0,1$, donc $$P\left(\left[\left|{\overline{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\ge 0,1\right]\right)=1\text{pour tout }n.$$ Elle ne tend pas vers $0$ : la conclusion du théorème est en défaut.

Où l'hypothèse intervient. Exactement dans le calcul de $V({\overline{X}}_n)$ : l'égalité $V(X_1+\cdots +X_n)=\sum V(X_i)$ n'est vraie que sous indépendance mutuelle. Sans elle il reste les covariances, ici maximales, et l'on a $V(S_n)=n^{2}V(Y)$ : le facteur $1/n^2$ de la moyenne est exactement annulé.

La leçon. Répéter $n$ fois la même observation n'apporte rien. Ce que la loi faible exige, ce n'est pas la quantité de chiffres, mais l'indépendance de ce qu'ils mesurent.