Dimensionner un sondage

Convergences et approximations · La loi faible des grands nombres · niveau 2

Énoncé

On veut estimer par une fréquence observée la proportion $p$ d'une population, inconnue. On dispose de $n$ réponses indépendantes, modélisées par des variables de Bernoulli de paramètre $p$ .

Montrer que $V (X_{n}) \leq \frac{1}{4 n}$ .
En déduire une majoration de $P ([∣ X_{n} - p ∣ \geq 0, 02])$ .
Quel $n$ garantit que cette probabilité est au plus $0, 05$ ?

Corrigé

1. Ici $V (X_{i}) = p (1 - p)$ , donc $V (X_{n}) = p (1 - p) / n$ . Or la fonction $p \mapsto p (1 - p)$ atteint son maximum en $p = 1/2$ , où elle vaut $1/4$ . Donc $V (X_{n}) \leq \frac{1}{4 n}$ , quel que soit le $p$ inconnu.

2. Bienaymé-Tchebychev avec $ε = 0, 02$ donne $P ([∣ X_{n} - p ∣ \geq 0, 02]) \leq \frac{1}{4 n \times 0 , 0004} = \frac{1}{0 , 0016 n}$ .

3. On veut $\frac{1}{0 , 0016 n} \leq 0, 05$ , soit $n \geq \frac{1}{0 , 0016 \times 0 , 05} = 12500$ .

Commentaire. $12500$ personnes pour deux points de précision : c'est beaucoup, et bien plus que les $1000$ personnes des sondages réels. La raison est que Bienaymé-Tchebychev est très prudente ; le chapitre 12 montre comment le théorème limite central réduit fortement cette exigence.

Énoncé

Corrigé

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