L'écart-type d'une somme n'est pas la somme des écarts-types

L'espérance de la somme. Elle est additive sans aucune hypothèse : $$E(S)=9\times 4=36\text{kg}.$$

La variance de la somme. Ici, et ici seulement, l'indépendance mutuelle sert : elle autorise à additionner les variances. Chaque colis a pour variance $2^2=4$, donc $$V(S)=9\times 4=36,\sigma (S)=\sqrt{36}=6\text{kg}.$$

Le point de l'exercice. L'écart-type de la somme vaut $6$ kg, et non $9\times 2=18$ kg. Ce sont les variances qui s'additionnent, jamais les écarts-types : $\sigma (S)=\sqrt{9}\sigma =3\sigma$, et non $9\sigma$. Les aléas des neuf colis se compensent partiellement, au lieu de s'ajouter.

La moyenne. Par linéarité, $E({\overline{X}}_9)=4$ kg ; et en utilisant $V(aX)=a^{2}V(X)$ avec $a=\frac{1}{9}$ : $$V({\overline{X}}_9)=\frac{1}{81}\times 36=\frac{4}{9},\sigma ({\overline{X}}_9)=\frac{2}{3}\approx 0,67\text{kg}.$$

Lecture. La masse totale est neuf fois plus grande que la masse d'un colis, mais sa dispersion n'est que trois fois plus grande ; et la masse moyenne, elle, est trois fois moins dispersée qu'un colis isolé. C'est la formule $\sigma ({\overline{X}}_n)=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$, avec $\sqrt{9}=3$.

Sans l'indépendance. Si les colis provenaient d'un même lot mal calibré, la covariance ne serait pas nulle et $V(S)$ pourrait atteindre $18^2=324$ dans le cas extrême où toutes les masses seraient égales. Retenir la formule sans son hypothèse est la faute la plus coûteuse du chapitre.