La borne contre la vérité

1. La majoration vaut $\frac{8,25}{9}\simeq 0,917$.

2. $|X-5,5|\ge 3$ signifie $X\le 2,5$ ou $X\ge 8,5$, c'est-à-dire $X\in \{1,2,9,10\}$. Chaque valeur a la probabilité $1/10$, donc la probabilité exacte vaut $\frac{4}{10}=0,4$.

3. La borne est plus de deux fois trop grande. C'est normal : elle est calculée sans jamais regarder la loi, uniquement à partir de $m$ et de $V(X)$. Il existe d'ailleurs des lois de mêmes $m$ et $V$ pour lesquelles la probabilité est bien plus proche de la borne — l'exercice « Une loi qui atteint la borne » en construit une. Une inégalité universelle paie son universalité en précision.