La borne contre la vérité

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé

Soit $X$ de loi uniforme sur ${1, 2, \dots, 10}$ , d'espérance $m = 5, 5$ et de variance $V (X) = 8, 25$ .

Majorer $P ([∣ X - 5, 5∣ \geq 3])$ par Bienaymé-Tchebychev.
Calculer la valeur exacte de cette probabilité.
Commenter l'écart.

Corrigé

1. La majoration vaut $\frac{8 , 25}{9} ≃ 0, 917$ .

2. $∣ X - 5, 5∣ \geq 3$ signifie $X \leq 2, 5$ ou $X \geq 8, 5$ , c'est-à-dire $X \in {1, 2, 9, 10}$ . Chaque valeur a la probabilité $1/10$ , donc la probabilité exacte vaut $\frac{4}{10} = 0, 4$ .

3. La borne est plus de deux fois trop grande. C'est normal : elle est calculée sans jamais regarder la loi, uniquement à partir de $m$ et de $V (X)$ . Il existe d'ailleurs des lois de mêmes $m$ et $V$ pour lesquelles la probabilité est bien plus proche de la borne — l'exercice « Une loi qui atteint la borne » en construit une. Une inégalité universelle paie son universalité en précision.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.