La borne en écarts-types

La forme à retenir. Avec $\epsilon =k\sigma$, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit $$P([|X-m|\ge k\sigma ])\le \frac{{\sigma }^2}{k^2{\sigma }^2}=\frac{1}{k^2}.$$ La majoration ne dépend donc que du nombre $k$ d'écarts-types, jamais de la loi.

Les trois cas. Ici $m=100$ et $\sigma =6$.

$k$	$\epsilon =6k$	majoration $1/k^2$	intervalle $[m-\epsilon ;m+\epsilon ]$
$2$	$12$	$0,25$	$[88;112]$
$4$	$24$	$0,0625$	$[76;124]$
$5$	$30$	$0,04$	$[70;130]$

Lecture. Au moins $75\%$ de la masse est dans $[88;112]$, au moins $93,75\%$ dans $[76;124]$, au moins $96\%$ dans $[70;130]$.

Le point délicat. Ces garanties sont valables pour toutes les lois de même moyenne et de même écart-type, y compris les plus dissymétriques. C'est ce qui les rend à la fois universelles et très prudentes.