La borne universelle face à une loi connue

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé

Soit $X ↪ N (m; σ^{2})$ . Pour $k = 1$ , $2$ puis $3$ , comparer la majoration de Bienaymé-Tchebychev de $P ([∣ X - m ∣ \geq k σ])$ à la valeur exacte. On donne $Φ (1) = 0, 8413$ , $Φ (2) = 0, 9772$ et $Φ (3) = 0, 9987$ .

Corrigé

La majoration. Bienaymé-Tchebychev avec $ε = k σ$ donne $P ([∣ X - m ∣ \geq k σ]) \leq \frac{V ( X )}{( k σ ) ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{k ^{2} σ ^{2}} = \frac{1}{k ^{2}} .$

La valeur exacte. En standardisant, $X^{*} = \frac{X - m}{σ}$ suit $N (0, 1)$ , et l'événement $[∣ X - m ∣ \geq k σ]$ devient $[∣ X^{*} ∣ \geq k]$ . Par symétrie de la cloche, $P ([∣ X^{*} ∣ \geq k]) = 2 (1 - Φ (k)) .$

Les trois comparaisons.

$k$	borne $1/ k^{2}$	valeur exacte $2 (1 - Φ (k))$
$1$	$1$	$0, 3174$
$2$	$0, 25$	$0, 0456$
$3$	$0, 1111$	$0, 0027$

Lecture. Pour $k = 1$ la borne vaut $1$ : elle n'apprend rigoureusement rien, puisque toute probabilité est déjà inférieure à $1$ . Pour $k = 2$ elle est cinq fois trop grande, pour $k = 3$ quarante fois.

Ce que cela n'enlève pas à l'inégalité. La colonne de droite exige de connaître toute la loi ; celle du milieu ne demande que l'espérance et la variance. C'est ce caractère universel qui permettra, au chapitre suivant, de fabriquer un intervalle de confiance sans rien savoir de la loi observée — au prix, précisément, de cette largeur excessive.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.