La même question, deux inégalités

Par Markov. $X$ compte des pannes, donc elle est positive, et son espérance vaut $4$ :

$$P([X\ge 10])\le \frac{4}{10}=0,4.$$

Par Bienaymé-Tchebychev : d'abord une inclusion. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev porte sur $|X-4|$, c'est-à-dire sur les écarts des deux côtés. Or $X\ge 10$ équivaut à $X-4\ge 6$, ce qui entraîne $|X-4|\ge 6$. Donc

$$[X\ge 10]\subset [|X-4|\ge 6],$$

et la probabilité du premier est inférieure à celle du second.

La majoration. Avec $\epsilon =6$ :

$$P([X\ge 10])\le P([|X-4|\ge 6])\le \frac{V(X)}{6^2}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx 0,111.$$

Comparaison. Bienaymé-Tchebychev donne près de quatre fois mieux, au prix d'une information de plus, la variance. Et l'inclusion n'a rien coûté ici, car l'autre côté, $[X\le -2]$, est impossible pour un nombre de pannes.

Le point à retenir. Sur un événement à un seul côté, il faut d'abord l'inclure dans un événement symétrique. Les deux bornes restent d'ailleurs très au-dessus de la vraie valeur, environ $0,008$ : une inégalité ne promet pas d'être proche, seulement de ne jamais être fausse.