La moyenne empirique d'un lot de pièces

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · Sommes et moyennes empiriques

Énoncé

La masse d'une pièce, en grammes, a pour espérance $250$ et pour écart-type $3$ . On prélève $100$ pièces indépendamment, de masse moyenne $X_{100}$ . Calculer son espérance et sa variance, majorer $P ([∣ X_{100} - 250∣ \geq 1])$ , puis dire combien de pièces rendraient cette majoration inférieure à $0, 01$ .

Corrigé

L'espérance de la moyenne. Par linéarité, et sans aucune hypothèse d'indépendance :

$E (X_{100}) = \frac{1}{100} \times 100 \times 250 = 250.$

La variance de la moyenne. Ici l'indépendance sert, et elle seule :

$V (X_{100}) = \frac{σ ^{2}}{n} = \frac{3 ^{2}}{100} = \frac{9}{100} = 0, 09,$

donc $σ (X_{100}) = 0, 3$ gramme.

La majoration. Bienaymé-Tchebychev avec $ε = 1$ :

$P ([∣ X_{100} - 250∣ \geq 1]) \leq \frac{0 , 09}{1 ^{2}} = 0, 09.$

La taille nécessaire. On veut $\frac{9}{n} \leq 0, 01$ , c'est-à-dire $n \geq 900$ pièces.

Lecture. Passer de $100$ à $900$ pièces, soit neuf fois plus, divise la garantie par neuf — mais l'écart-type de la moyenne, lui, n'est divisé que par trois : il passe de $0, 3$ à $0, 1$ gramme.

Le point à retenir. La garantie décroît en $1/ n$ , la dispersion en $1/ n$ . C'est ce $n$ qui rend les grands échantillons coûteux.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.