mathématiques (ECT 2e année) · Chapitre 10 · Exercice
La moyenne empirique d'un lot de pièces
Convergences et approximations · Sommes et moyennes empiriques · niveau 2
Énoncé
La masse d'une pièce, en grammes, a pour espérance et pour écart-type . On prélève pièces indépendamment, de masse moyenne . Calculer son espérance et sa variance, majorer , puis dire combien de pièces rendraient cette majoration inférieure à .
Corrigé
L'espérance de la moyenne. Par linéarité, et sans aucune hypothèse d'indépendance :
La variance de la moyenne. Ici l'indépendance sert, et elle seule :
donc gramme.
La majoration. Bienaymé-Tchebychev avec :
La taille nécessaire. On veut , c'est-à-dire pièces.
Lecture. Passer de à pièces, soit neuf fois plus, divise la garantie par neuf — mais l'écart-type de la moyenne, lui, n'est divisé que par trois : il passe de à gramme.
Le point à retenir. La garantie décroît en , la dispersion en . C'est ce qui rend les grands échantillons coûteux.
