Majorer l'écart d'une moyenne à sa cible

Les deux premiers moments de la moyenne. Les observations étant mutuellement indépendantes et de même loi, $$E({\overline{X}}_n)=2,V({\overline{X}}_n)=\frac{1}{n}.$$

L'inégalité. Bienaymé-Tchebychev appliquée à ${\overline{X}}_n$ avec $\epsilon =0,5$ donne $$P([|{\overline{X}}_n-2|\ge 0,5])\le \frac{V({\overline{X}}_n)}{0,5^2}=\frac{1/n}{0,25}=\frac{4}{n}.$$

Pour $n=100$. $$P([|{\overline{X}}_{100}-2|\ge 0,5])\le \frac{4}{100}=0,04.$$ Au plus $4\%$ de chances que la moyenne de cent observations s'écarte de plus d'un demi de la cible.

Pour $n=1000$. La majoration devient $\frac{4}{1000}=0,004$, dix fois plus petite.

Lecture. Le majorant $4/n$ tend vers $0$ : c'est exactement la loi faible des grands nombres, dont la démonstration n'est rien d'autre que ce calcul.