Majorer l'écart d'une moyenne à sa cible

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · La loi faible des grands nombres

Énoncé

Des variables mutuellement indépendantes et de même loi ont pour espérance $2$ et pour variance $1$ . Majorer $P ([∣ X_{100} - 2∣ \geq 0, 5])$ , puis dire ce que devient cette majoration pour $n = 1000$ .

Corrigé

Les deux premiers moments de la moyenne. Les observations étant mutuellement indépendantes et de même loi, $E (X_{n}) = 2, V (X_{n}) = \frac{1}{n} .$

L'inégalité. Bienaymé-Tchebychev appliquée à $X_{n}$ avec $ε = 0, 5$ donne $P ([∣ X_{n} - 2∣ \geq 0, 5]) \leq \frac{V ( X _{n} )}{0 , 5 ^{2}} = \frac{1/ n}{0 , 25} = \frac{4}{n} .$

Pour $n = 100$ . $P ([∣ X_{100} - 2∣ \geq 0, 5]) \leq \frac{4}{100} = 0, 04.$ Au plus $4 %$ de chances que la moyenne de cent observations s'écarte de plus d'un demi de la cible.

Pour $n = 1000$ . La majoration devient $\frac{4}{1000} = 0, 004$ , dix fois plus petite.

Lecture. Le majorant $4/ n$ tend vers $0$ : c'est exactement la loi faible des grands nombres, dont la démonstration n'est rien d'autre que ce calcul.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.