Majorer sans connaître la loi

L'outil. $X$ est positive et admet une espérance $E(X)=3$ ; l'inégalité de Markov s'applique : $$\forall a>0,P([X\ge a])\le \frac{E(X)}{a}=\frac{3}{a}.$$

Les deux majorations. $$P([X\ge 12])\le \frac{3}{12}=0,25,P([X\ge 6])\le \frac{3}{6}=0,5.$$ Au plus un quart des journées dépassent douze retours, au plus la moitié en dépassent six.

Le seuil $a=2$. La majoration donne $$P([X\ge 2])\le \frac{3}{2}=1,5,$$ ce qui est vrai mais inutile : toute probabilité est déjà inférieure à $1$. La majoration n'apprend rien.

La règle à retenir. L'inégalité de Markov n'apporte une information que lorsque $a>E(X)$ : c'est seulement à partir de ce seuil que le quotient $E(X)/a$ descend sous $1$. Et elle vaut sans connaître la loi de $X$, ce qui est tout son intérêt.