Majorer sans connaître la loi

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · L'inégalité de Markov

Énoncé

Le nombre $X$ de colis retournés par jour à une boutique est une variable positive d'espérance $3$ . Majorer $P ([X \geq 12])$ et $P ([X \geq 6])$ . Que donne la majoration pour le seuil $a = 2$ ?

Corrigé

L'outil. $X$ est positive et admet une espérance $E (X) = 3$ ; l'inégalité de Markov s'applique : $\forall a > 0, P ([X \geq a]) \leq \frac{E ( X )}{a} = \frac{3}{a} .$

Les deux majorations. $P ([X \geq 12]) \leq \frac{3}{12} = 0, 25, P ([X \geq 6]) \leq \frac{3}{6} = 0, 5.$ Au plus un quart des journées dépassent douze retours, au plus la moitié en dépassent six.

Le seuil $a = 2$ . La majoration donne $P ([X \geq 2]) \leq \frac{3}{2} = 1, 5,$ ce qui est vrai mais inutile : toute probabilité est déjà inférieure à $1$ . La majoration n'apprend rien.

La règle à retenir. L'inégalité de Markov n'apporte une information que lorsque $a > E (X)$ : c'est seulement à partir de ce seuil que le quotient $E (X) / a$ descend sous $1$ . Et elle vaut sans connaître la loi de $X$ , ce qui est tout son intérêt.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.