Majorer un écart, minorer un intervalle

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé

Une variable $X$ a pour espérance $200$ et pour écart-type $10$ . Majorer $P ([∣ X - 200∣ \geq 30])$ , puis minorer $P ([170 < X < 230])$ .

Corrigé

L'outil. $X$ admet un moment d'ordre $2$ , avec $m = 200$ et $V (X) = 1 0^{2} = 100$ . Bienaymé-Tchebychev donne, pour tout $ε > 0$ : $P ([∣ X - 200∣ \geq ε]) \leq \frac{100}{ε ^{2}} .$

La majoration. Avec $ε = 30$ : $P ([∣ X - 200∣ \geq 30]) \leq \frac{100}{900} = \frac{1}{9} \approx 0, 111.$ Au plus $11, 1 %$ de la masse est à plus de $30$ de la moyenne.

La minoration. L'événement $[170 < X < 230]$ s'écrit $[∣ X - 200∣ < 30]$ : c'est exactement le contraire du précédent. Donc $P ([170 < X < 230]) = 1 - P ([∣ X - 200∣ \geq 30]) \geq 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 0, 889.$

Lecture. L'écart $30$ vaut trois écarts-types ; la borne $1/ k^{2}$ avec $k = 3$ donne bien $1/9$ . On peut donc affirmer, sans connaître la loi, qu'au moins $88, 9 %$ de la masse est dans $] 170; 230 [$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.