Majorer un écart, minorer un intervalle

L'outil. $X$ admet un moment d'ordre $2$, avec $m=200$ et $V(X)=10^2=100$. Bienaymé-Tchebychev donne, pour tout $\epsilon >0$ : $$P([|X-200|\ge \epsilon ])\le \frac{100}{{\epsilon }^2}.$$

La majoration. Avec $\epsilon =30$ : $$P([|X-200|\ge 30])\le \frac{100}{900}=\frac{1}{9}\approx 0,111.$$ Au plus $11,1\%$ de la masse est à plus de $30$ de la moyenne.

La minoration. L'événement $[170<X<230]$ s'écrit $[|X-200|<30]$ : c'est exactement le contraire du précédent. Donc $$P([170<X<230])=1-P([|X-200|\ge 30])\ge 1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\approx 0,889.$$

Lecture. L'écart $30$ vaut trois écarts-types ; la borne $1/k^2$ avec $k=3$ donne bien $1/9$. On peut donc affirmer, sans connaître la loi, qu'au moins $88,9\%$ de la masse est dans $]170;230[$.