Markov appliqué au carré

Première majoration. $X$ est positive et admet une espérance : Markov s'applique avec le seuil $a=15$,

$$P([X\ge 15])\le \frac{E(X)}{15}=\frac{6}{15}=0,4.$$

Le changement de variable. Posons $Y=X^2$. C'est une variable positive, et son espérance vaut $45$. Comme $X$ est positive et que la fonction carré est croissante sur $[0,+\infty [$, les deux événements $[X\ge 15]$ et $[Y\ge 225]$ sont le même événement.

Seconde majoration. Markov appliqué à $Y$ avec le seuil $a=225$ donne

$$P([X\ge 15])=P([Y\ge 225])\le \frac{E(Y)}{225}=\frac{45}{225}=0,2.$$

Comparaison. Les deux majorations sont vraies ; la seconde est deux fois meilleure. Elle n'est pas obtenue par un tour de passe-passe : elle utilise une information supplémentaire, le moment d'ordre $2$, dont la première ne se sert pas.

Le point à retenir. Rien n'oblige à appliquer Markov à $X$ elle-même. Sur $|X{|}^r$, elle donne $P(|X|\ge a)\le \frac{E\left(|X{|}^r\right)}{a^r}$ ; plus $r$ est grand, plus la borne est fine — à condition de connaître le moment correspondant.