Markov appliqué au carré

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · L'inégalité de Markov

Énoncé

Le nombre $X$ de commandes reçues en une heure par un site marchand est une variable aléatoire positive, d'espérance $6$ et telle que $E (X^{2}) = 45$ . Majorer $P ([X \geq 15])$ en appliquant l'inégalité de Markov à $X$ , puis en l'appliquant à $X^{2}$ . Comparer les deux majorations.

Corrigé

Première majoration. $X$ est positive et admet une espérance : Markov s'applique avec le seuil $a = 15$ ,

$P ([X \geq 15]) \leq \frac{E ( X )}{15} = \frac{6}{15} = 0, 4.$

Le changement de variable. Posons $Y = X^{2}$ . C'est une variable positive, et son espérance vaut $45$ . Comme $X$ est positive et que la fonction carré est croissante sur $[0, + \infty [$ , les deux événements $[X \geq 15]$ et $[Y \geq 225]$ sont le même événement.

Seconde majoration. Markov appliqué à $Y$ avec le seuil $a = 225$ donne

$P ([X \geq 15]) = P ([Y \geq 225]) \leq \frac{E ( Y )}{225} = \frac{45}{225} = 0, 2.$

Comparaison. Les deux majorations sont vraies ; la seconde est deux fois meilleure. Elle n'est pas obtenue par un tour de passe-passe : elle utilise une information supplémentaire, le moment d'ordre $2$ , dont la première ne se sert pas.

Le point à retenir. Rien n'oblige à appliquer Markov à $X$ elle-même. Sur $∣ X ∣^{r}$ , elle donne $P (∣ X ∣ \geq a) \leq \frac{E ( ∣ X ∣ ^{r} )}{a ^{r}}$ ; plus $r$ est grand, plus la borne est fine — à condition de connaître le moment correspondant.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.