Markov contre la vérité, sur une durée de vie

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · L'inégalité de Markov

Énoncé

La durée de vie $X$ , en années, d'un matériel suit la loi exponentielle de paramètre $\frac{1}{5}$ . Majorer $P ([X \geq 20])$ par l'inégalité de Markov, puis calculer la valeur exacte de cette probabilité. Faire de même pour $P ([X \geq 10])$ et commenter.

Corrigé

Les hypothèses de Markov sont réunies. $X$ est à valeurs positives, et elle admet une espérance : $E (X) = \frac{1}{1/5} = 5$ ans. On peut donc écrire $P ([X \geq a]) \leq \frac{E ( X )}{a}$ pour tout $a > 0$ .

Les deux majorations. $P ([X \geq 20]) \leq \frac{5}{20} = 0, 25, P ([X \geq 10]) \leq \frac{5}{10} = 0, 5.$

Les deux valeurs exactes. Pour une loi exponentielle de paramètre $λ = \frac{1}{5}$ , on a $P (X > x) = e^{- x /5}$ , donc $P ([X \geq 20]) = e^{- 4} \approx 0, 0183, P ([X \geq 10]) = e^{- 2} \approx 0, 1353.$

Commentaire. Les deux majorations sont vraies, et toutes deux très au-dessus de la réalité : $0, 25$ contre $0, 018$ , soit près de quatorze fois trop. L'écart se creuse même quand le seuil augmente, car la majoration de Markov décroît comme $1/ a$ tandis que la vraie probabilité décroît exponentiellement.

Ce que cela apprend. Une inégalité n'est pas une approximation : elle ne promet pas d'être proche, seulement de ne jamais être fausse. Son intérêt est ailleurs — elle ne demande que l'espérance, et vaut pour toute loi positive de moyenne $5$ , y compris celles qu'on ne connaît pas.

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