mathématiques (ECT 2e année) · Chapitre 10 · Exercice

Markov sur un temps d'attente

Convergences et approximations · L'inégalité de Markov · niveau 1 (application)

Énoncé

Le temps d'attente $T$ , en minutes, avant qu'un appel soit décroché est une variable aléatoire positive d'espérance $4$ minutes.

Majorer $P ([T \geq 20])$ .
Majorer $P ([T \geq 10])$ .
Que vaut la majoration pour $a = 3$ ? La commenter.

Corrigé

1. $T$ est positive et d'espérance $4$ , donc $P ([T \geq 20]) \leq \frac{4}{20} = 0, 2$ .

2. De même, $P ([T \geq 10]) \leq \frac{4}{10} = 0, 4$ .

3. Pour $a = 3$ : $P ([T \geq 3]) \leq \frac{4}{3} ≃ 1, 33$ .

C'est vrai, mais inutile : une probabilité est toujours inférieure à $1$ . L'inégalité de Markov n'apporte de l'information que lorsque $a > E (X)$ ; en deçà, elle est correcte et vide.

C'est le signe qu'on a choisi un seuil trop bas.

Exercices semblables

Markov appliqué au carré corrigé
La même question, deux inégalités corrigé
Markov contre la vérité, sur une durée de vie
Une loi qui atteint la borne de Markov
Une promesse commerciale à examiner

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre