Markov sur un temps d'attente

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · L'inégalité de Markov

Énoncé

Le temps d'attente $T$ , en minutes, avant qu'un appel soit décroché est une variable aléatoire positive d'espérance $4$ minutes.

Majorer $P ([T \geq 20])$ .
Majorer $P ([T \geq 10])$ .
Que vaut la majoration pour $a = 3$ ? La commenter.

Corrigé

1. $T$ est positive et d'espérance $4$ , donc $P ([T \geq 20]) \leq \frac{4}{20} = 0, 2$ .

2. De même, $P ([T \geq 10]) \leq \frac{4}{10} = 0, 4$ .

3. Pour $a = 3$ : $P ([T \geq 3]) \leq \frac{4}{3} ≃ 1, 33$ .

C'est vrai, mais inutile : une probabilité est toujours inférieure à $1$ . L'inégalité de Markov n'apporte de l'information que lorsque $a > E (X)$ ; en deçà, elle est correcte et vide.

C'est le signe qu'on a choisi un seuil trop bas.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.