Retrouver la binomiale

Convergences et approximations · L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev · niveau 2

Énoncé

Soient $X_{1}, \dots, X_{50}$ des variables mutuellement indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre $p = 0, 2$ , et $S = X_{1} + \dots + X_{50}$ .

Quelle est la loi de $S$ ? Donner $E (S)$ et $V (S)$ .
Majorer $P ([∣ S - 10∣ \geq 6])$ .
Que devient cette majoration si l'on remplace $6$ par $2$ ?

Corrigé

1. $S$ compte le nombre de succès parmi $50$ épreuves indépendantes de même paramètre : $S$ suit la loi binomiale $B (50; 0, 2)$ . Donc $E (S) = 50 \times 0, 2 = 10$ et $V (S) = 50 \times 0, 2 \times 0, 8 = 8$ .

2. Bienaymé-Tchebychev avec $ε = 6$ donne $P ([∣ S - 10∣ \geq 6]) \leq \frac{8}{36} ≃ 0, 222$ .

3. Avec $ε = 2$ : $\frac{8}{4} = 2$ , majoration sans intérêt puisque supérieure à $1$ .

La leçon. L'inégalité n'est informative que pour $ε > σ = 8 ≃ 2, 83$ : en dessous, la borne dépasse $1$ . Elle sert à écarter les grands écarts, jamais à décrire le voisinage immédiat de la moyenne.

Énoncé

Corrigé

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