Somme et moyenne de quatre observations

Convergences et approximations · Sommes et moyennes empiriques · niveau 1 (application)

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Quatre variables mutuellement indépendantes ont chacune pour espérance $25$ et pour écart-type $6$ . On note $S$ leur somme et $X_{4}$ leur moyenne. Calculer $E (S)$ , $V (S)$ , $σ (S)$ , puis $E (X_{4})$ , $V (X_{4})$ et $σ (X_{4})$ .

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La somme. L'espérance est toujours additive : $E (S) = 4 \times 25 = 100.$ Les variables étant mutuellement indépendantes, les variances s'additionnent — et chaque variance vaut $6^{2} = 36$ : $V (S) = 4 \times 36 = 144, σ (S) = 144 = 12.$

La moyenne. Comme $X_{4} = \frac{S}{4}$ , la linéarité donne $E (X_{4}) = \frac{100}{4} = 25,$ et la règle $V (a X) = a^{2} V (X)$ avec $a = \frac{1}{4}$ donne $V (X_{4}) = \frac{1}{16} \times 144 = 9, σ (X_{4}) = 3.$

Contrôle par la formule directe. $V (X_{n}) = \frac{σ ^{2}}{n} = \frac{36}{4} = 9$ , et $σ (X_{n}) = \frac{6}{4} = 3$ : les deux chemins concordent.

Lecture. La moyenne vise la bonne valeur — son espérance est $25$ , comme celle d'une observation isolée — mais elle est deux fois moins dispersée : $σ$ passe de $6$ à $3$ , c'est-à-dire divisé par $4$ .

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