Trois lectures, une seule correcte

L'énoncé de référence. La loi faible des grands nombres affirme que pour tout $\epsilon >0$, $$\underset{n\to +\infty }{\lim }P([|{\overline{X}}_n-m|\ge \epsilon ])=0,$$ et sa démonstration passe par $P([|{\overline{X}}_n-m|\ge \epsilon ])\le \frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}$.

Affirmation 1 : fausse. ${\overline{X}}_n$ est une variable aléatoire, pas un nombre : elle fluctue à tout rang. Contre-exemple : si les $X_i$ valent $0$ ou $1$ avec probabilité $\frac{1}{2}$, alors $m=\frac{1}{2}$, et ${\overline{X}}_n$, de la forme $k/n$, ne peut même pas valoir $\frac{1}{2}$ lorsque $n$ est impair.

Affirmation 2 : fausse. La probabilité tend vers $0$, elle ne l'atteint pas. Dans le même exemple, l'événement « les $n$ tirages donnent $1$ » a la probabilité $2^{-n}$, minuscule mais non nulle, et il place ${\overline{X}}_n$ à $0,5$ de la cible.

Affirmation 3 : correcte. C'est l'énoncé même du théorème, et la majoration $\frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}$ le rend explicite : à $\epsilon$ fixé, elle tend vers $0$, donc on descend sous n'importe quel seuil en prenant $n$ assez grand.

Le point délicat, et c'est le nom du théorème. Ce que la loi faible affirme est une convergence des probabilités, non des valeurs. L'écart n'est jamais garanti petit ; il devient seulement improbable. Confondre les deux fait annoncer des certitudes là où il n'y a que des garanties statistiques.