Trois machines qui n'ont pas la même loi

L'espérance. Elle est additive sans hypothèse : $$E(S)=10+12+15=37\text{minutes}.$$

La variance. Les trois durées sont mutuellement indépendantes, ce qui autorise à additionner les variances — et rien d'autre ne le permettrait : $$V(S)=4+9+16=29,\sigma (S)=\sqrt{29}\approx 5,39\text{minutes}.$$ Noter qu'il n'est pas nécessaire que les trois variables aient la même loi : seules l'indépendance et l'existence des moments comptent.

Par Markov. $S$ est une somme de durées, donc positive, et elle admet une espérance : $$P([S\ge 55])\le \frac{37}{55}\approx 0,673.$$

Par Bienaymé-Tchebychev. L'événement $[S\ge 55]$ est inclus dans $[|S-37|\ge 18]$, car $S\ge 55$ entraîne $S-37\ge 18$. La croissance de la probabilité donne alors $$P([S\ge 55])\le P([|S-37|\ge 18])\le \frac{29}{18^2}=\frac{29}{324}\approx 0,0895.$$

Comparaison. $0,09$ contre $0,67$ : la seconde majoration est plus de sept fois meilleure. C'est logique — elle utilise une information de plus, la variance, qui dit que $S$ s'écarte peu de $37$.

Le point délicat. L'inclusion d'événements est indispensable : Bienaymé- Tchebychev majore un écart absolu, donc bilatéral, alors que la question ne porte que sur le côté droit. On majore donc au passage un événement plus grand, ce qui reste correct mais ajoute encore un peu de prudence à une borne déjà prudente.