Un écart de deux écarts-types, borné puis calculé

Espérance et variance. Pour la loi exponentielle, $m=E(X)=\frac{1}{\lambda }$ et $V(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$ ; l'écart-type vaut donc lui aussi $\frac{1}{\lambda }$. L'écart demandé, $\frac{2}{\lambda }$, est exactement $2\sigma$.

La majoration. Avec $\epsilon =\frac{2}{\lambda }$ : $$P\left(\left[\left|X-\frac{1}{\lambda }\right|\ge \frac{2}{\lambda }\right]\right)\le \frac{V(X)}{{\epsilon }^2}=\frac{1/{\lambda }^2}{4/{\lambda }^2}=\frac{1}{4}=0,25.$$

La valeur exacte. L'inégalité $\left|X-\frac{1}{\lambda }\right|\ge \frac{2}{\lambda }$ se dédouble : $$X\ge \frac{1}{\lambda }+\frac{2}{\lambda }=\frac{3}{\lambda }\text{ou}X\le \frac{1}{\lambda }-\frac{2}{\lambda }=-\frac{1}{\lambda }.$$ Le second cas est impossible : la loi exponentielle ne prend que des valeurs positives, donc cet événement est de probabilité nulle. Il reste $$P\left(X\ge \frac{3}{\lambda }\right)={\mathrm{e}}^{-\lambda \times \frac{3}{\lambda }}={\mathrm{e}}^{-3}\approx 0,0498.$$

Commentaire. La borne $0,25$ est vraie mais cinq fois trop grande. Et le résultat ne dépend pas de $\lambda$ : la loi exponentielle laisse toujours $5\%$ environ de sa masse au-delà de trois écarts-types au-dessus de la moyenne — bien plus que la loi normale, qui n'y laisse que $0,13\%$.

Le point délicat. L'écart absolu est symétrique, mais la loi ne l'est pas : la moitié gauche de l'événement est vide. Traiter les deux inégalités séparément, et vérifier laquelle est compatible avec les valeurs prises par $X$, est ici tout le travail.