Un intervalle à construire à partir d'une garantie

L'outil. $X$ admet un moment d'ordre $2$, d'espérance $m=50$ et de variance $V(X)=4^2=16$. Bienaymé-Tchebychev donne, pour tout $\epsilon >0$ : $P([|X-50|\ge \epsilon ])\le \frac{16}{{\epsilon }^2}$.

Les deux majorations. $$P([|X-50|\ge 8])\le \frac{16}{64}=0,25,P([|X-50|\ge 12])\le \frac{16}{144}=\frac{1}{9}\approx 0,111.$$

La minoration. L'événement $[42<X<58]$ est le contraire de $[|X-50|\ge 8]$, donc $$P([42<X<58])\ge 1-0,25=0,75.$$

L'intervalle demandé. On cherche $\epsilon$ tel que $P([|X-50|<\epsilon ])\ge 0,96$, c'est-à-dire $$\frac{16}{{\epsilon }^2}\le 0,04⟺{\epsilon }^2\ge \frac{16}{0,04}=400⟺\epsilon \ge 20.$$ L'intervalle $[30;70]$ convient donc, avec la garantie annoncée.

Lecture. En écrivant $\epsilon =k\sigma$, la majoration devient $1/k^2$ : ici $\epsilon =20$ correspond à $k=5$ écarts-types, et $1/25=0,04$. Cette forme se retient — au plus $1/k^2$ de la masse est à plus de $k$ écarts-types de la moyenne, quelle que soit la loi.

Le point délicat. La garantie est très prudente : pour exiger $96\%$, il a fallu ouvrir à cinq écarts-types, là où la plupart des lois usuelles se contentent de deux.