Une loi qui atteint la borne de Markov

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · L'inégalité de Markov

Énoncé

Soient $a > 0$ et $q \in] 0, 1 [$ . On considère $X$ qui prend la valeur $a$ avec la probabilité $q$ et la valeur $0$ avec la probabilité $1 - q$ . Calculer $E (X)$ et $P ([X \geq a])$ , puis comparer cette probabilité à la majoration de Markov. Que peut-on en conclure ?

Corrigé

La variable convient. $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $a$ , toutes deux positives : l'hypothèse de Markov est vérifiée.

L'espérance. Par définition, $E (X) = a \times q + 0 \times (1 - q) = a q .$

La probabilité exacte. L'événement $[X \geq a]$ est réalisé exactement lorsque $X = a$ , puisque l'autre valeur possible, $0$ , est strictement inférieure à $a$ . Donc $P ([X \geq a]) = q .$

La majoration de Markov. Avec le seuil $a$ : $\frac{E ( X )}{a} = \frac{a q}{a} = q .$

Conclusion : l'inégalité est une égalité. Pour cette loi, $P ([X \geq a])$ vaut exactement $\frac{E ( X )}{a}$ .

Ce que cela démontre. Aucune majoration de la forme $P ([X \geq a]) \leq c \frac{E ( X )}{a}$ avec $c < 1$ ne peut être vraie pour toutes les variables positives : la famille ci-dessus la mettrait en défaut. Autrement dit, la borne de Markov est la meilleure possible si l'on ne dispose que de l'espérance.

Le point délicat. Cela n'entre pas en contradiction avec le fait que la borne soit très grossière sur des lois usuelles. Elle est optimale dans le pire des cas, pas sur chaque loi : ce qui la rend exacte ici, c'est que toute la masse est concentrée en deux points, dont l'un est justement le seuil.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.