Une loi qui atteint la borne

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 10 — Convergences et approximations · L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé

Soient $ε > 0$ et $q \in] 0, 1 [$ . On considère $X$ qui prend la valeur $- ε$ avec probabilité $q /2$ , la valeur $ε$ avec probabilité $q /2$ , et la valeur $0$ avec probabilité $1 - q$ .

Calculer $E (X)$ et $V (X)$ .
Calculer $P ([∣ X - E (X) ∣ \geq ε])$ .
Comparer à la majoration de Bienaymé-Tchebychev. Conclure.

Corrigé

1. Par symétrie, $E (X) = - ε \cdot \frac{q}{2} + 0 \cdot (1 - q) + ε \cdot \frac{q}{2} = 0$ . Puis $E (X^{2}) = ε^{2} \cdot \frac{q}{2} + 0 + ε^{2} \cdot \frac{q}{2} = q ε^{2}$ , donc $V (X) = q ε^{2} - 0^{2} = q ε^{2}$ .

2. Comme $E (X) = 0$ , l'événement $[∣ X ∣ \geq ε]$ est réalisé exactement lorsque $X$ vaut $- ε$ ou $ε$ , donc $P ([∣ X - E (X) ∣ \geq ε]) = \frac{q}{2} + \frac{q}{2} = q$ .

3. La majoration de Bienaymé-Tchebychev vaut $\frac{V ( X )}{ε ^{2}} = \frac{q ε ^{2}}{ε ^{2}} = q$ . Elle est atteinte, exactement, pour tout $q$ et tout $ε$ .

Conclusion. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne peut donc pas être améliorée en général : toute borne de la forme $c V (X) / ε^{2}$ avec $c < 1$ serait fausse sur cette loi. Elle est grossière sur les lois usuelles, et optimale sur celle-ci — c'est le prix d'un énoncé valable pour toutes.

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