Une promesse commerciale à examiner

Ce que Markov garantit. $T$ est positive et d'espérance $12$ minutes ; avec le seuil $a=120$ minutes, $$P([T\ge 120])\le \frac{12}{120}=0,10.$$ Au plus $10\%$ des dossiers dépassent deux heures : voilà tout ce qu'on peut affirmer à partir de la seule espérance.

La promesse n'est pas démontrée. La garantie obtenue, $10\%$, est deux fois plus large que la promesse, $5\%$. L'inégalité ne permet donc pas de conclure que la promesse est tenue.

Elle n'est pas contredite non plus. Une majoration ne dit rien de la vraie valeur, sinon qu'elle est en dessous. La vraie probabilité peut parfaitement valoir $0,02$ — Markov ne l'interdit pas. Pour trancher, il faudrait une information de plus : la variance, ou la loi elle-même.

Le seuil qui garantirait $5\%$. On cherche $a$ tel que $\frac{12}{a}\le 0,05$, c'est-à-dire $$a\ge \frac{12}{0,05}=240\text{minutes},\text{soit }4\text{ heures.}$$ À partir de quatre heures, on peut affirmer sans rien savoir d'autre que moins de $5\%$ des dossiers dépassent.

Le point délicat. Confondre « l'inégalité ne le garantit pas » et « c'est faux » est la faute de lecture la plus fréquente sur ce thème. Une inégalité majore ; elle ne mesure pas.