À quel seuil l'intervalle cesse-t-il de contenir la moitié

La demi-largeur. Elle vaut $h=\frac{1}{2\sqrt{na}}$ avec $n=1000$, donc $h=\frac{1}{2\sqrt{1000a}}$.

Les quatre valeurs.

risque $a$	seuil de confiance	$h$	intervalle
$0,01$	$99\%$	$0,158$	$[0,302;0,618]$
$0,05$	$95\%$	$0,071$	$[0,389;0,531]$
$0,10$	$90\%$	$0,050$	$[0,410;0,510]$
$0,20$	$80\%$	$0,035$	$[0,425;0,495]$

La condition à résoudre. L'intervalle exclut $0,5$ lorsque sa borne droite lui est strictement inférieure, c'est-à-dire lorsque $0,46+h<0,5$, soit $h<0,04$ : $$\frac{1}{2\sqrt{1000a}}<0,04⟺2\sqrt{1000a}>25⟺1000a>156,25⟺a>0,15625.$$

Conclusion. L'intervalle n'exclut $0,5$ que pour un risque supérieur à $15,6\%$, c'est-à-dire un seuil de confiance inférieur à $84,4\%$. Le tableau le confirme : seule la dernière ligne, à $80\%$, ne contient plus $0,5$.

Lecture. Avec ces données, on ne peut pas affirmer au seuil usuel de $95\%$ que le projet est minoritaire — l'intervalle contient largement $0,5$. On ne le pourrait qu'en acceptant de se tromper une fois sur six, ce qui n'est pas un niveau de garantie recevable.

Le point délicat. Exiger plus de confiance élargit l'intervalle, donc rend la conclusion moins tranchée. Un intervalle qui exclut $0,5$ à faible confiance ne prouve rien : c'est la confiance élevée qui donne du poids à l'exclusion, pas l'inverse.