Ce que coûte un seuil de confiance plus élevé

La quantité invariante. À $n$ fixé, $$h\sqrt{a}=\frac{1}{2\sqrt{na}}\times \sqrt{a}=\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{n}\sqrt{a}}=\frac{1}{2\sqrt{n}},$$ qui ne contient plus $a$. Le produit $h\sqrt{a}$ ne dépend donc que de la taille de l'échantillon.

Le facteur cherché. Notons $h_1$ la demi-largeur au risque $a_1=0,05$ et $h_2$ celle au risque $a_2=0,01$. L'invariance donne $h_1\sqrt{a_1}=h_2\sqrt{a_2}$, donc $$\frac{h_2}{h_1}=\sqrt{\frac{a_1}{a_2}}=\sqrt{\frac{0,05}{0,01}}=\sqrt{5}\approx 2,236.$$ Passer de $95\%$ à $99\%$ de confiance multiplie donc la demi-largeur par $2,24$ : l'intervalle est plus de deux fois plus large.

Vérification sur $n=1000$. $$h_1=\frac{1}{2\sqrt{1000\times 0,05}}=\frac{1}{2\sqrt{50}}\approx 0,0707,h_2=\frac{1}{2\sqrt{10}}\approx 0,1581.$$ Et $0,0707\times 2,236\approx 0,1581$ : le compte est bon.

L'autre lecture. Si l'on veut conserver la précision $h_1$ tout en passant au seuil de $99\%$, il faut compenser sur $n$. Comme $h$ varie en $1/\sqrt{na}$, diviser $a$ par $5$ oblige à multiplier $n$ par $5$ : de $1000$ à $5000$ personnes.

Ce que cela signifie. La confiance n'est pas gratuite. Elle se paie soit en largeur d'intervalle — donc en imprécision —, soit en taille d'échantillon — donc en argent. Les deux termes de l'arbitrage sont liés par la même racine carrée.