Ce que fait un changement d'unité

Ce que l'on montre. Deux égalités, à partir des seules définitions $\overline{y}=\frac{1}{n}\sum y_i$ et $s_y^2=\frac{1}{n}\sum (y_i-\overline{y}{)}^2$.

La moyenne. Par linéarité de la somme, $$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(a{x}_i+b)=\frac{a}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i+\frac{1}{n}\times nb=a\overline{x}+b.$$

Les écarts à la moyenne. C'est le point clé : pour chaque $i$, $$y_i-\overline{y}=(a{x}_i+b)-(a\overline{x}+b)=a(x_i-\overline{x}).$$ La constante $b$ disparaît — une translation déplace la série et sa moyenne d'autant, donc ne change aucun écart.

La variance et l'écart-type. En élevant au carré et en sommant, $$s_y^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}^2(x_i-\overline{x}{)}^2=a^2{s}_x^2,$$ d'où, en prenant la racine carrée, $s_y=\sqrt{a^2}{s}_x=|a|s_x$. La valeur absolue est indispensable : un écart-type est positif, même si $a$ est négatif.

Application. Passer des euros aux milliers d'euros, c'est prendre $a=\frac{1}{1000}$ et $b=0$. Donc $$\overline{y}=24,5\text{et}{s}_y=\frac{3200}{1000}=3,2,$$ exprimés l'un et l'autre en milliers d'euros.

Ce que cela apprend. Moyenne et écart-type ont la même unité que les données : ils suivent le changement d'échelle. Une variance, elle, serait divisée par $10^6$ — c'est pourquoi on lui préfère l'écart-type pour parler à un lecteur. Et une prime uniforme de $1000$ € versée à tous déplacerait la moyenne sans toucher à la dispersion.