Ce que garantit vraiment un intervalle

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 11 — Estimation · Les limites de la méthode

Énoncé

Un sondage sur $500$ personnes donne l'intervalle $[0, 324; 0, 524]$ au seuil de $95 %$ . Dire, en le justifiant, si chacune des affirmations suivantes est correcte.

« Il y a $95 %$ de chances que $p$ soit entre $0, 324$ et $0, 524$ . »
« Si l'on refaisait mille fois ce sondage, au moins $950$ des intervalles obtenus contiendraient $p$ . »
« $95 %$ des personnes interrogées ont une opinion comprise entre $0, 324$ et $0, 524$ . »

Corrigé

1. Incorrecte. Une fois le sondage réalisé, $0, 324$ et $0, 524$ sont des nombres, et $p$ aussi : soit $p$ est dedans, soit il n'y est pas. Il n'y a plus rien d'aléatoire, donc plus de probabilité à écrire. Le hasard était dans le tirage de l'échantillon, pas dans $p$ .

2. Correcte, en substance. C'est la lecture juste : la garantie porte sur la méthode, répétée. La formulation exacte serait « en moyenne au moins $950$ », puisque le nombre d'intervalles réussis est lui-même aléatoire.

3. Incorrecte, et hors sujet. Chaque personne interrogée répond $0$ ou $1$ ; aucune n'a « une opinion comprise entre $0, 324$ et $0, 524$ ». L'intervalle porte sur le paramètre $p$ de la population, pas sur les individus.

Le point commun des deux erreurs. Toutes deux déplacent le hasard : la première le met dans $p$ , la troisième dans les individus. Il n'a jamais été que dans le choix de l'échantillon.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.