Deux enquêtes de tailles différentes

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 11 — Estimation · Du sondage à l'intervalle de confiance

Énoncé

Un premier institut interroge $250$ personnes et trouve une fréquence favorable de $0, 38$ ; un second en interroge $4000$ et trouve $0, 41$ . Écrire les deux intervalles de confiance au seuil de $95 %$ , variance majorée par $\frac{1}{4}$ , et dire si les deux enquêtes se contredisent.

Corrigé

Premier institut. Avec $n = 250$ et $a = 0, 05$ :

$\frac{1}{2 250 \times 0 , 05} = \frac{1}{2 12 , 5} \approx 0, 1414,$

d'où l'intervalle $[0, 239; 0, 521]$ .

Second institut. Avec $n = 4000$ :

$\frac{1}{2 4 000 \times 0 , 05} = \frac{1}{2 200} \approx 0, 0354,$

d'où $[0, 375; 0, 445]$ .

Le rapport des largeurs. $0, 1414/0, 0354 = 4$ exactement : la taille a été multipliée par $16$ , donc la largeur divisée par $16 = 4$ .

Se contredisent-elles ? Non. Le second intervalle est entièrement contenu dans le premier : toute valeur de $p$ compatible avec la seconde enquête l'est aussi avec la première. Les trois points d'écart entre $0, 38$ et $0, 41$ sont bien plus petits que l'imprécision de la première enquête, qui est de quatorze points.

Le point à retenir. Deux estimations ponctuelles différentes ne sont pas deux résultats contradictoires. Comparer deux sondages, c'est comparer leurs intervalles, jamais leurs seuls pourcentages annoncés.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.