Deux enquêtes de tailles différentes

Premier institut. Avec $n=250$ et $a=0,05$ :

$$\frac{1}{2\sqrt{250\times 0,05}}=\frac{1}{2\sqrt{12,5}}\approx 0,1414,$$

d'où l'intervalle $[0,239;0,521]$.

Second institut. Avec $n=4000$ :

$$\frac{1}{2\sqrt{4000\times 0,05}}=\frac{1}{2\sqrt{200}}\approx 0,0354,$$

d'où $[0,375;0,445]$.

Le rapport des largeurs. $0,1414/0,0354=4$ exactement : la taille a été multipliée par $16$, donc la largeur divisée par $\sqrt{16}=4$.

Se contredisent-elles ? Non. Le second intervalle est entièrement contenu dans le premier : toute valeur de $p$ compatible avec la seconde enquête l'est aussi avec la première. Les trois points d'écart entre $0,38$ et $0,41$ sont bien plus petits que l'imprécision de la première enquête, qui est de quatorze points.

Le point à retenir. Deux estimations ponctuelles différentes ne sont pas deux résultats contradictoires. Comparer deux sondages, c'est comparer leurs intervalles, jamais leurs seuls pourcentages annoncés.