Deux groupes réunis en un seul

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 11 — Estimation · Moyenne et écart-type empiriques

Énoncé

Un premier groupe de $40$ dossiers a une durée moyenne de traitement de $12$ minutes ; un second groupe de $60$ dossiers, de $17$ minutes. Calculer la durée moyenne sur l'ensemble des $100$ dossiers. Pourquoi n'est-ce pas $\frac{12 + 17}{2}$ ?

Corrigé

Revenir à la définition. La moyenne empirique d'un échantillon $x_{1}, \dots, x_{n}$ est $x = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ : c'est une somme de valeurs divisée par leur nombre.

Reconstituer les deux sommes. Pour le premier groupe, la moyenne $12$ sur $40$ dossiers donne une somme de $40 \times 12 = 480$ minutes. Pour le second, $60 \times 17 = 1020$ minutes.

La moyenne globale. $x = \frac{480 + 1 020}{40 + 60} = \frac{1 500}{100} = 15, 0 minutes .$

Pourquoi pas $14, 5$ . La moyenne arithmétique des deux moyennes, $\frac{12 + 17}{2} = 14, 5$ , traiterait les deux groupes comme s'ils avaient le même effectif. Or le second en compte une fois et demie plus que le premier : il doit peser davantage. La bonne formule est la moyenne pondérée par les effectifs : $x = \frac{n _{1} x _{1} + n _{2} x _{2}}{n _{1} + n _{2}} = \frac{40 \times 12 + 60 \times 17}{100} = 15, 0.$

Contrôle de vraisemblance. La valeur obtenue, $15$ , est bien comprise entre $12$ et $17$ , et plus proche de $17$ que de $12$ — ce qui est cohérent avec le poids majoritaire du second groupe. Une moyenne pondérée sort toujours entre le plus petit et le plus grand des nombres moyennés.

Le cas d'égalité. Les deux formules coïncident si et seulement si $n_{1} = n_{2}$ . Avec $50$ et $50$ dossiers, on aurait bien trouvé $14, 5$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.