Du budget à la précision

La grandeur cherchée. La précision annoncée est la demi-largeur de l'intervalle de confiance, $$h=\frac{1}{2\sqrt{na}},$$ avec $n=2500$ ici, et $a$ le risque consenti.

Au seuil de $95\%$. Alors $a=0,05$ et $na=125$ : $$h=\frac{1}{2\sqrt{125}}=\frac{1}{22,36}\approx 0,0447,$$ soit une précision de $\pm 4,5$ points de pourcentage.

Au seuil de $90\%$. Alors $a=0,10$ et $na=250$ : $$h=\frac{1}{2\sqrt{250}}=\frac{1}{31,62}\approx 0,0316,$$ soit $\pm 3,2$ points.

Le rapport des deux. Il vaut $\sqrt{0,10/0,05}=\sqrt{2}\approx 1,414$ : abaisser le risque de $10\%$ à $5\%$ élargit l'intervalle de $41\%$, à taille d'échantillon inchangée.

Lecture de gestion. Le budget fixe $n$, donc la précision — l'institut n'a plus qu'à choisir entre annoncer $\pm 4,5$ points avec $95\%$ de confiance, ou $\pm 3,2$ points avec $90\%$. Il ne peut pas améliorer les deux à la fois : c'est un arbitrage, pas un réglage.

Le point délicat. Le calcul se fait avant l'enquête, puisque $f$ n'intervient pas dans $h$ : la précision est connue dès que le budget l'est. Un institut qui annoncerait une précision meilleure après avoir vu les résultats aurait changé de méthode en cours de route.