Estimer la borne d'une fenêtre uniforme

Relier le paramètre à l'espérance. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{U}[0,\theta ]$, l'espérance vaut $$E(X)=\frac{0+\theta }{2}=\frac{\theta }{2}.$$ Le paramètre inconnu s'exprime donc simplement en fonction de l'espérance : $\theta =2E(X)$.

Estimer l'espérance. Les $60$ attentes forment un échantillon indépendant de même loi que $X$. La moyenne empirique estime $E(X)$, et sa réalisation vaut $\overline{x}=21,4$ minutes.

En déduire l'estimation de $\theta$. $$\hat{\theta }=2\times 21,4=42,8\text{minutes}.$$

La proportion demandée. Avec ce modèle estimé, $$P(X>30)=\frac{42,8-30}{42,8}=\frac{12,8}{42,8}\approx 0,299,$$ soit environ $30\%$ des attentes.

Deux réserves à formuler. D'abord, $\hat{\theta }$ est une estimation, donc presque sûrement différente de $\theta$ : une autre série de $60$ attentes donnerait un autre nombre. Ensuite, la seconde réponse repose sur le modèle uniforme lui-même, qui n'a pas été vérifié ici — si des attentes de plus de $42,8$ minutes avaient été observées, ce serait le modèle qu'il faudrait mettre en doute, pas seulement l'estimation.

Ce que l'exercice montre. L'estimation par la moyenne empirique ne se limite pas au cas de Bernoulli : dès que le paramètre s'exprime en fonction de l'espérance, la moyenne observée le livre.