Estimer la variance d'une Bernoulli, ou la majorer

L'estimation de $p$. La réponse d'une personne suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, dont l'espérance est $p$. La fréquence observée est la moyenne empirique, donc $\hat{p}=f=0,30$.

L'estimation de la variance individuelle. Pour une loi de Bernoulli, $V(X)=p(1-p)$. En y remplaçant $p$ par son estimation : $$\hat{V}=0,30\times 0,70=0,21.$$

La majoration du cours. Pour tout $p\in [0,1]$, on a $p(1-p)\le \frac{1}{4}$, avec égalité en $p=\frac{1}{2}$. En effet $\frac{1}{4}-p(1-p)={\left(p-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$. Ici la majoration donne $0,25$, contre $0,21$ estimés : elle surestime de $19\%$.

Les deux écarts-types de la fréquence. La fréquence observée est ${\overline{X}}_n$, de variance $\frac{p(1-p)}{n}$.

Avec la variance estimée : $\sqrt{\frac{0,21}{400}}=\sqrt{5,25\times 10^{-4}}\approx 0,0229$.

Avec la majoration : $\sqrt{\frac{0,25}{400}}=\sqrt{6,25\times 10^{-4}}=0,0250$.

Le rapport. Il vaut $\sqrt{0,21/0,25}=\sqrt{0,84}\approx 0,917$ : la majoration coûte environ $9\%$ de largeur en trop.

Le point délicat. La majoration par $\frac{1}{4}$ n'est pas une approximation maladroite : c'est le seul moyen d'obtenir un nombre sans connaître $p$. La variance estimée, elle, utilise une valeur elle-même incertaine — et une garantie construite dessus ne serait plus une garantie. On paie donc en largeur ce qu'on gagne en certitude, et le prix est ici modeste.