Estimer le paramètre d'une loi de Poisson

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 11 — Estimation · Estimer d'autres paramètres

Énoncé

Un service après-vente enregistre le nombre quotidien de réclamations, modélisé par une loi de Poisson de paramètre $λ$ . Sur $200$ journées, il en compte $456$ au total.

Donner l'estimation ponctuelle $λ$ .
Sachant que pour une loi de Poisson $V (X) = λ$ , écrire l'intervalle de confiance au seuil de $95 %$ en remplaçant $V (X)$ par $λ$ .

Corrigé

1. Pour une loi de Poisson, $E (X) = λ$ : le paramètre est l'espérance, donc on l'estime par la moyenne observée

$λ = \frac{456}{200} = 2, 28 r e ˊ clamations par jour .$

2. La demi-largeur vaut $\frac{V ( X )}{n a}$ , où l'on remplace $V (X) = λ$ par $2, 28$ :

$\frac{2 , 28}{200 \times 0 , 05} = \frac{2 , 28}{10} = 0, 228 ≃ 0, 477.$

L'intervalle est donc $[2, 28 - 0, 477; 2, 28 + 0, 477] ≃ [1, 80; 2, 76]$ .

Une réserve honnête. On a utilisé le paramètre estimé pour calculer la demi-largeur : la garantie n'est donc plus exacte, seulement approchée. Le programme ne demande pas d'aller plus loin sur ce point.

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