Estimer une durée de vie moyenne

Estimation de l'espérance. Le paramètre cherché est encore l'espérance commune, donc on l'estime par la moyenne observée :

$$\overline{x}=\frac{520}{80}=6,5\text{ heures}.$$

Estimation du paramètre. Comme $E(X)=\frac{1}{\lambda }$, on prend $\hat{\lambda }=\frac{1}{6,5}\approx 0,154$ panne par heure.

Estimation de la variance. Pour une loi exponentielle, $V(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}=(E(X){)}^2$ : on l'estime donc par $6,5^2=42,25$.

La demi-largeur. Avec $n=80$ et $a=0,05$ :

$$\sqrt{\frac{V(X)}{na}}\approx \sqrt{\frac{42,25}{80\times 0,05}}=\sqrt{\frac{42,25}{4}}=\frac{6,5}{2}=3,25.$$

L'intervalle. $[6,5-3,25;6,5+3,25]=[3,25;9,75]$ heures.

Pourquoi la demi-largeur vaut la moitié de la moyenne. Parce que $V(X)=(E(X){)}^2$ : la racine vaut $\frac{\overline{x}}{\sqrt{na}}$, et ici $\sqrt{80\times 0,05}=2$.

Une réserve honnête. On a utilisé l'échantillon deux fois, pour le centre et pour la variance : la garantie n'est plus exacte, seulement approchée.

Le point à retenir. L'intervalle va du simple au triple, et ce n'est pas une maladresse : une loi exponentielle a un écart-type égal à sa moyenne, donc elle est très dispersée.