La largeur ne dépend pas de ce qu'on a observé

La demi-largeur. Pour une variable de Bernoulli dont on majore la variance par $\frac{1}{4}$, l'intervalle de confiance au seuil $1-a$ s'écrit $$\left[f-\frac{1}{2\sqrt{na}};f+\frac{1}{2\sqrt{na}}\right].$$ Ici $n=2500$ et $a=0,05$, donc $na=125$ et $$\frac{1}{2\sqrt{125}}=\frac{1}{2\times 11,18}\approx 0,0447.$$

Les deux intervalles. $$[0,48-0,045;0,48+0,045]=[0,435;0,525],$$ $$[0,61-0,045;0,61+0,045]=[0,565;0,655].$$

Ce qu'on remarque. Les deux intervalles ont exactement la même largeur, $0,0894$. La fréquence observée ne joue que sur la position du centre, jamais sur la largeur.

Pourquoi. La demi-largeur $\frac{1}{2\sqrt{na}}$ ne contient que deux choses : la taille $n$ et le risque $a$. La fréquence $f$ n'y figure pas, parce qu'on a remplacé la variance $p(1-p)$ — qui, elle, dépendrait du paramètre — par la majoration universelle $\frac{1}{4}$.

La conséquence pratique. Avant même de recevoir les réponses, on connaît la précision d'un sondage : elle est fixée par le budget, c'est-à-dire par $n$, et par le niveau de garantie choisi. Le résultat de l'enquête ne fait que déplacer la fenêtre.

Le point délicat. Cela ne serait plus vrai si l'on remplaçait $\frac{1}{4}$ par $f(1-f)$ : l'intervalle du premier sondage, avec $f_1$ proche de $\frac{1}{2}$, resterait presque aussi large, tandis que celui du second se resserrerait — mais on perdrait la garantie universelle.