La taille de la population n'intervient pas

La formule. L'intervalle de confiance au seuil $1-a$, pour une variable de Bernoulli et une variance majorée par $\frac{1}{4}$, est $$\left[f-\frac{1}{2\sqrt{na}};f+\frac{1}{2\sqrt{na}}\right].$$ Trois quantités y figurent : la fréquence observée $f$, la taille de l'échantillon $n$, et le risque $a$. La taille de la population n'y apparaît nulle part.

Le calcul, commun aux deux cas. Avec $n=1000$ et $a=0,05$, on a $na=50$ et $$\frac{1}{2\sqrt{50}}=\frac{1}{14,142}\approx 0,0707.$$ Les deux intervalles sont donc identiques : $$[0,52-0,071;0,52+0,071]=[0,449;0,591].$$

Commentaire. La précision d'un sondage ne dépend pas de la taille de la population interrogée. Mille personnes renseignent aussi bien sur un pays que sur une commune — pourvu que le tirage soit fait au hasard et que les réponses soient indépendantes.

D'où cela vient. La garantie repose entièrement sur $V({\overline{X}}_n)=\frac{p(1-p)}{n}$, formule obtenue à partir de $n$ observations indépendantes de même loi. Le nombre total d'individus dont elles sont issues n'intervient à aucun moment du raisonnement.

Le point délicat. L'intuition dit le contraire — « mille personnes sur soixante millions, c'est trop peu » — et c'est l'une des idées fausses les plus tenaces sur les sondages. Ce qui compte, c'est le nombre d'observations indépendantes, pas la proportion qu'elles représentent.