La taille qu'exige une précision

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 11 — Estimation · Précision et taille de l'échantillon

Énoncé

On veut estimer une proportion à $\pm 2$ points près au seuil de confiance de $95 %$ , la variance étant majorée par $\frac{1}{4}$ . Quelle taille d'échantillon faut-il ?

Corrigé

La condition à écrire. La demi-largeur $h = \frac{1}{2 n a}$ doit être inférieure à la précision voulue $ε = 0, 02$ , avec un risque $a = 0, 05$ : $\frac{1}{2 n \times 0 , 05} \leq 0, 02.$

La résolution. Comme les deux membres sont strictement positifs, on peut passer aux inverses en renversant le sens : $2 0, 05 n \geq \frac{1}{0 , 02} = 50,$ puis, en élevant au carré — licite, les deux membres étant positifs — $4 \times 0, 05 \times n \geq 2500 ⟺ n \geq \frac{2 500}{0 , 2} = 12 500.$

La réponse. Il faut interroger au moins $12500$ personnes.

Contrôle. Avec $n = 12500$ , on a $na = 625$ et $h = \frac{1}{2 \times 25} = 0, 02$ exactement : la précision demandée est atteinte, tout juste.

Lecture. C'est beaucoup, et c'est le prix de la prudence de Bienaymé-Tchebychev : les instituts de sondage interrogent mille personnes pour annoncer une précision voisine, mais avec une autre méthode, l'intervalle asymptotique, abordé au chapitre suivant.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.