La taille qu'exige une précision

La condition à écrire. La demi-largeur $h=\frac{1}{2\sqrt{na}}$ doit être inférieure à la précision voulue $\epsilon =0,02$, avec un risque $a=0,05$ : $$\frac{1}{2\sqrt{n\times 0,05}}\le 0,02.$$

La résolution. Comme les deux membres sont strictement positifs, on peut passer aux inverses en renversant le sens : $$2\sqrt{0,05n}\ge \frac{1}{0,02}=50,$$ puis, en élevant au carré — licite, les deux membres étant positifs — $$4\times 0,05\times n\ge 2500⟺n\ge \frac{2500}{0,2}=12500.$$

La réponse. Il faut interroger au moins $12500$ personnes.

Contrôle. Avec $n=12500$, on a $na=625$ et $h=\frac{1}{2\times 25}=0,02$ exactement : la précision demandée est atteinte, tout juste.

Lecture. C'est beaucoup, et c'est le prix de la prudence de Bienaymé-Tchebychev : les instituts de sondage interrogent mille personnes pour annoncer une précision voisine, mais avec une autre méthode, l'intervalle asymptotique, abordé au chapitre suivant.