Le même sondage, vingt-cinq fois plus grand

La demi-largeur. Avec $n=10000$ et $a=0,05$, on a $na=500$ et $$h=\frac{1}{2\sqrt{500}}=\frac{1}{44,72}\approx 0,0224.$$

L'intervalle. $$[0,55-0,022;0,55+0,022]=[0,528;0,572].$$

La conclusion. L'intervalle est entièrement au-dessus de $0,5$. On peut donc affirmer, au seuil de confiance de $95\%$, que le projet est majoritaire — et même qu'il recueille au moins $52,8\%$ des voix.

Ce que la taille a changé. Sur $400$ personnes, la même fréquence $0,55$ n'aurait donné qu'un intervalle de demi-largeur $0,112$, contenant largement $0,5$. Multiplier $n$ par $25$ divise la demi-largeur par $\sqrt{25}=5$ : $0,112/5\approx 0,022$.

Le point délicat. La fréquence observée, elle, n'a pas bougé. Ce n'est donc pas le résultat de l'enquête qui permet de conclure, c'est sa taille : à $f$ fixé, seule la précision décide.